การดำเนินการที่เหมาะสุดของกระบวนการเคมี: (ตอนที่ 1: แนวคิดการหาค่าเหมาะสุด)
โดย วีรยุทธ เลิศบำรุงสุข
HIGHLIGHTS
- คำตอบปัญหาการหาค่าเหมาะสุดเกิดได้ 2 แบบคือเกิดที่ตำแหน่งหลุมหรือยอดบนของฟังก์ชันวัตถุประสงค์หรือที่ขอบเขตของข้อจำกัด (constraints)
- Active constraints คือข้อจำกัดอันที่ค่าคำตอบเหมาะสุดเกิดขึ้น
ราคาพลังงานและการแข่งขันที่เพิ่มสูงขึ้น ส่งผลให้ผู้ประกอบการมองหาแนวทางเพื่อลดต้นทุนการผลิต หนทางหนึ่งที่ช่วยได้ คือการทำให้โรงงานหรือกระบวนการมีการดำเนินการที่เหมาะสุด (optimal operation) บทความนี้มุ่งหมายที่จะแสดงให้เห็นถึงแนวคิดการดำเนินการที่เหมาะสุดของกระบวนการ และชี้ให้เห็นว่า บ่อยครั้งการดำเนินการที่เหมาะสุดสามารถได้มาโดยการรักษาระบบให้อยู่ที่ขอบเขตของข้อจำกัดที่สัมพันธ์กับปัญหาการหาค่าเหมาะสุด (optimization) นั้นๆ และสาธิตการประยุกต์ใช้แนวคิดดังกล่าวผ่านตัวอย่างปัญหาอย่างง่าย
ในตอนที่ 1 นี้จะขอแนะนำแนวคิดพื้นฐานของปัญหาการหาค่าที่เหมาะสุดก่อน ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญก่อนที่จะนำแนวคิดดังกล่าวมาประยุกต์ใช้กับการแก้ปัญหาการดำเนินการที่เหมาะสุดของกระบวนการในตอนที่ 2
แนวคิดการหาค่าที่เหมาะสุด
ในทางคณิตศาสตร์ การหาค่าที่เหมาะสุดจะเกี่ยวข้องกับการหาคำตอบของตัวแปร x ที่ทำให้ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (objective function, f) มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดภายใต้ข้อจำกัด (constraint) ของคำตอบที่เป็นไปได้ (feasible solution) ซึ่งประกอบด้วยข้อจำกัดเท่าเทียม (equality constraint, h) ข้อจำกัดไม่เท่าเทียม (inequality constraint, g) ขีดจำกัดล่าง (lower bound, lb) และขีดจำกัดบน (upper bound, ub) ของตัวแปร x เขียนได้ในรูปของสมการคณิตศาสตร์(กรณีค่าต่ำสุด) ดังนี้
min f(x)
s.t. h(x) = 0 (s.t. ย่อมาจาก subject to)
g(x) ≤ 0
lb ≤ x ≤ ub
แม้ว่าโดยทั่วไป การแก้ปัญหาดังกล่าวจำเป็นต้องใช้วิธีทางระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical method) แต่ในที่นี้จะแสดงการแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟผ่านตัวอย่างง่ายๆ เนื่องจากแนวคิดดังกล่าวสามารถให้มุมมองที่สำคัญต่อการหาสภาวะดำเนินการที่เหมาะสุด (optimal operating condition) ของกระบวนการ ดังแสดงในตัวอย่างที่ 1 และ 2
ตัวอย่างที่ 1: ปัญหาการหาค่าเหมาะสุดกรณีหนึ่งตัวแปร
พิจารณาปัญหา ดังแสดง
ปัญหา 1.1: min f(x) = x2
ปัญหา 1.2: min f(x) = x2
s.t. x ≥ -1
ปัญหา 1.3: min f(x) = x2
s.t. x ≤ -1
หากลองวาดกราฟ 2 มิติ ก็จะสามารถหาค่าคำตอบ x ได้ดังรูปที่ 1
ปัญหา 1.1 เป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสุดแบบไม่มีข้อจำกัด (Unconstrained optimization) ดังนั้นการพิจารณาจุดต่ำสุดไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตข้อจำกัดของตัวแปร โดยจากรูปที่ 1a จะเห็นว่าค่าคำตอบ x ที่ทำให้ f มีค่าต่ำสุดจะอยู่ที่จุดหลุม x=0 ซึ่งได้ค่า f(x) = 0
ขณะที่ปัญหา 1.2 และ 1.3 เป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสุดแบบมีข้อจำกัด (constrained optimization) หรือก็คือคำตอบที่เป็นไปได้ถูกจำกัดด้วยขอบเขตข้อจำกัดไม่เท่าเทียมที่เกี่ยวข้อง สังเกตว่าในปัญหา 1.2 การเพิ่มข้อจำกัดไม่เท่าเทียมมิได้ทำให้คำตอบเปลี่ยนไปเมื่อเทียบกับปัญหา 1.1 ขณะที่ในปัญหา 1.3 ค่าคำตอบ x ที่ทำให้ f มีค่าต่ำสุดภายใต้ขอบเขตที่เป็นไปได้ จะอยู่ที่ x = -1 ซึ่งอยู่ที่ขอบของข้อจำกัดไม่เท่าเทียมพอดี หรือเรียกได้ว่า active constraint เกิดที่อสมการ x <= -1 และทำให้ได้คำตอบ f(x) = 1
ตัวอย่างที่ 2: ปัญหาการหาค่าเหมาะสุดกรณีสองตัวแปร
พิจารณาปัญหาดังแสดง
ปัญหา 2.1:
min f(x1, x2) = (x1-1)2 + (x2-2)2
s.t. g1: 4 – x1 – x2 ≥ 0
g2: – 10 + 5x1 + x2 ≤ 0
x1, x2 ≥ 0
ปัญหา 2.2:
min f(x1,x2) = (x1-1)2 + (x2-2)2
s.t. g1: 2 – x1 – x2 ≥ 0
g2: – 10 + 5x1 + x2 ≤ 0
x1, x2 ≥ 0
หากทำการแก้ปัญหาด้วยกราฟ จะพบว่าเกี่ยวข้องกับกราฟ 3 มิติ ซึ่งในที่นี้จะแสดงในรูปของ contour plot ดังแสดงในรูปที่ 2
รูปที่ 2 แสดง contour plot ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f(x) และขอบเขตของข้อจำกัดไม่เท่าเทียม (g1, g2) สังเกตว่าในปัญหา 2.1 ค่าคำตอบจะอยู่ที่จุดหลุมของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ที่จุด x1=1, x2=2 ขณะที่ปัญหา 2.2 ค่าคำตอบจะอยู่ที่จุด x1=0.5, x2=1.5 ซึ่งสัมพันธ์กับขอบของข้อจำกัดไม่เท่าเทียม g1: 2 – x1 – x2 ≥ 0 (ซึ่งเป็น active constraint)
จาก 2 ตัวอย่างที่ได้แสดงไว้ จะพบข้อสังเกตที่สำคัญคือ ลักษณะของคำตอบที่เหมาะสุด (ในกรณีนี้คือจุดต่ำสุด) จะเกิดได้เพียงหนึ่งใน 2 ตำแหน่ง คือ ที่ตำแหน่งหลุม (ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์) และ ที่ตำแหน่งขอบ (ของข้อจำกัดไม่เท่าเทียม) อนึ่งในกรณีที่มีข้อจำกัดแบบเท่าเทียมซึ่ง active เสมอ คำตอบ x จำต้องตอบสนองด้วยเสมอเช่นกัน ในบทความนี้จะสนใจถึงกรณีของคำตอบที่ตำแหน่งขอบ ซึ่งจะเกิดขึ้นในกรณีของปัญหาโปรแกรมเชิงเส้น (linear programming) และโปรแกรมไม่เชิงเส้น (nonlinear programming) ที่มีความไม่เป็นเชิงเส้นระดับน้อย
หมายเหตุ กรณีคำตอบที่เหมาะสุดเกิดที่ตำแหน่งขอบของข้อจำกัดใด จะเรียกข้อจำกัดนั้นว่า active constraint
เพิ่มเติมเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้แนวคิดดังกล่าวเพื่อการดำเนินการที่เหมาะสุดของกระบวนการ จะกล่าวถึงต่อไปในบทความหน้า
ABOUT THE AUTHOR
วีรยุทธ เลิศบำรุงสุข
ภาควิชาวิศวกรรมเคมี คณะวิศวกรรมศาสตร์ฯ
มหาวิทยาลัยศิลปากร