โดย วีรยุทธ เลิศบำรุงสุข
HIGHLIGHTS
- ระบบอันดับหนึ่ง คือระบบที่เอาท์พุทสามารถกำหนดได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง
- พารามิเตอร์ที่กำหนดลักษณะสำคัญของระบบอันดับหนึ่งในรูปแบบ first-order lag process คือค่า process gain และ process time constant
- ระบบอันดับหนึ่งในรูปแบบ integrating process จะแสดงพฤติกรรมแบบ non-self-regulating process ซึ่งต้องการการควบคุมเพื่อสร้างเสถียรภาพ
แม้ว่าระบบทางวิศวกรรมเคมีจะมีความหลากหลาย แต่โดยมากจะสามารถกำหนดได้ด้วยหลักการพื้นฐานของกฎอนุรักษ์มวลและอนุรักษ์พลังงาน ในกรณีของระบบอย่างง่าย บ่อยครั้งเมื่อทำการดุลมวลหรือดุลพลังงานจะได้ผลลัพธ์ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง ดังนั้น หากสามารถเรียนรู้เข้าใจสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง (first-order ordinary differential equation หรือ first-order ODE) ได้ ก็จะสามารถทำนายพฤติกรรมของระบบทางวิศวกรรมเคมีอย่างง่ายได้นั่นเอง
ระบบอันดับหนึ่งเชิงเส้น (Linear first-order system)
ระบบอันดับหนึ่ง คือระบบที่เอาท์พุทสามารถกำหนดได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง โดยหากเป็นกรณีของระบบเชิงเส้นในรูปแบบ first-order lag process จะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปได้ดังนี้
โดยกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition) เป็น y(t=0) = ys
เมื่อ y และ u คือ เอาท์พุทและอินพุทของระบบ ตามลำดับ
ys คือค่า y ที่สภาวะ steady-state ซึ่งในที่นี้จะจำกัดเฉพาะกรณีที่ระบบเริ่มต้นที่สภาวะ ดังกล่าว
ในขณะที่ K และ τ คือค่าคงที่ของระบบ ซึ่งมีชื่อเรียกว่า process gain และ process time constant ตามลำดับ
ในเชิงของการวิเคราะห์ระบบ ถ้าอยากทราบว่าระบบมีการเบี่ยงเบนไปจากสภาวะ steady-state แรกเริ่มมากน้อยเพียงใด มักนิยมทำตัวแปรให้อยู่ในรูปของ deviation variable โดยจากสมการที่ 1 หากสมมุติว่าระบบอยู่ที่สภาวะ steady-state จะได้
หากลบสมการที่ 1 ด้วยสมการที่ 2 และกำหนดตัวแปร deviation variable y’ = y-ys และ u’ = u-us จะได้
โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น คือ y'(t=0)=y(t=0)-ys=0
ในการศึกษาพฤติกรรมของระบบอันดับหนึ่งเชิงเส้นจะเกี่ยวข้องกับการหาคำตอบ y’ ของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่งเชิงเส้นดังแสดงในสมการที่ 3
คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่งเชิงเส้น
การแก้ปัญหาเพื่อหาคำตอบของสมการที่ 3 จะเริ่มจากการวิเคราะห์ degrees of freedom (NDOF) ของระบบ
NDOF = จำนวนตัวแปร – จำนวนสมการ = 2 – 1 = 1 (4)
โดยที่ตัวแปรจะประกอบด้วย 2 ตัวแปรได้แก่ เอาท์พุท y’ และอินพุท u’ ในขณะที่สมการจะประกอบด้วย 1 สมการของสมการความสัมพันธ์ระหว่าง y’ และ u’ ซึ่งก็คือสมการที่ 3 นั่นเอง
ในการแก้สมการที่มี NDOF=1 เราจำเป็นต้องกำหนดค่าหรือฟังก์ชันของตัวแปรขึ้น 1 ตัวก่อน จากนั้นจึงใช้สมการที่มีอยู่เพื่อหาค่าของตัวแปรที่เหลือ เช่น กำหนดฟังก์ชันให้กับอินพุท u’ แล้วก็ใช้สมการที่ 3 เพื่อหาคำตอบของเอาท์พุท y’ ที่ต้องการ เพื่อทราบถึงผลของอินพุท u’ ที่มีต่อเอาท์พุท y’
ยกตัวอย่างเช่น กำหนดให้อินพุท u’ เป็นฟังก์ชันแบบ step change ขนาด M ดังสมการที่ 5 (ดูรูปที่ 1 ประกอบ)
เมื่อทำการแก้ปัญหาสมการที่ 3 เพื่อหาค่าเอาท์พุท y’ จะได้คำตอบดังนี้
เมื่อนำสมการที่ 6 มาพล็อตกราฟ พบว่าจะมีลักษณะการเปลี่ยนแปลงเป็นแบบเอกซ์โพเนนเชียล (exponential) โดยที่มีค่าคงที่ K และ τ เป็นตัวกำหนดลักษณะเฉพาะของกราฟ ดังแสดงในรูปที่ 1
(กรณีที่อินพุท u’ มีการเปลี่ยนแปลงแบบ step change ขนาด M)
ในรูปที่ 1 ค่า process gain K จะสื่อความหมายของ new steady-state ว่าการเปลี่ยนแปลงของเอาท์พุท y’ จะมีขนาดเป็น K เท่าของการเปลี่ยนแปลงของอินพุท u’ ซึ่งเท่ากับ K.M (โดยมิได้บอกถึงว่าการเปลี่ยนแปลงนั้นเกิดเร็วหรือช้า) ขณะที่ค่า time constant τ จะมีความหมายในเชิง dynamics ว่าการเปลี่ยนแปลงของเอาท์พุท y’ จะลู่เข้าสู่ค่า new steady-state ได้เร็วหรือช้า โดยทั่วไปประมาณได้ว่าเวลาในการเปลี่ยนแปลงของเอาท์พุท y’ ในการเข้าสู่ค่า new steady-state จะอยู่ที่ประมาณ 5τ ซึ่งก็คือ 5 เท่าของค่า process time constant τ (หากแทนค่า t = 5τ ลงในสมการที่ 6 จะพบว่า y’ = 0.9933 KM ≈ KM )
รูปที่ 1 แสดงผลของการเปลี่ยนแปลงของ u’ ที่มีต่อ y’ แต่หากต้องการทราบถึงผลของ u ที่มีต่อ y ก็สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์ u = u’ + us และ y = y’ + ys ดังแสดงในรูปที่ 2
(กรณีที่อินพุท u มีการเปลี่ยนแปลงแบบ step change ขนาด M)
ระบบอันดับหนึ่งเชิงเส้นในรูปแบบ Integrating process
ระบบอันดับหนึ่งเชิงเส้นที่ได้กล่าวถึงข้างต้น ดังแสดงในสมการที่ 1 (หรือสมการที่ 3 ในรูปของ deviation variable) เป็นระบบในรูปแบบ 1st-order lag process นอกจากนี้แล้ว ยังมีระบบอันดับหนึ่งเชิงเส้นอีกรูปแบบหนึ่งที่น่าสนใจในทางวิศวกรรมเคมีคือ รูปแบบ Integrating process ซึ่งกำหนดได้ด้วยสมการที่ 7
เมื่อ K’ คือค่าคงที่ของสมการ
ในกรณีที่เงื่อนไขเริ่มต้นคือ y'(t=0)=0 ผลของอินพุทที่เปลี่ยนแปลงแบบ step change ขนาด M จะหาได้โดยการแก้ปัญหาสมการที่ 7 ซึ่งจะได้คำตอบดังสมการที่ 8 และแสดงได้ดังกราฟในรูปที่ 3
(กรณีที่อินพุท u’ มีการเปลี่ยนแปลงแบบ step change ขนาด M โดยระบบเป็นแบบ integrating process)
เมื่อเปรียบเทียบรูปที่ 1 และรูปที่ 3 พบว่าภายใต้การเปลี่ยนแปลงของอินพุทแบบ step change เหมือนกัน เอาท์พุทของระบบ 1st-order lag process จะลู่เข้าสู่ new steady-state ได้เอง จึงเรียกว่า self-regulating process ขณะที่เอาท์พุทของระบบ integrating process จะมีลักษณะเกิดการสะสมเพิ่มขึ้นตามเวลา จึงเรียกว่า non-self-regulating process นั่นคือในเชิงของการวิเคราะห์พฤติกรรมระบบจะพบว่า ระบบ integrating process จะเป็นระบบที่ไม่มีเสถียรภาพ จึงต้องการการควบคุมในภาคปฏิบัติ
ความรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้แนวคิดของระบบอันดับหนึ่งกับการอธิบายพฤติกรรมของระบบทางวิศวกรรมเคมีจะกล่าวถึงต่อไปในบทความหน้า
ABOUT THE AUTHOR
วีรยุทธ เลิศบำรุงสุข
ภาควิชาวิศวกรรมเคมี คณะวิศวกรรมศาสตร์ฯ
มหาวิทยาลัยศิลปากร